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cryptologie

cryptographie & cryptanalyse

CHAOS ET RÉSEAUX DE NEURONES

Publié le 28 Mars 2014 par Levy

Le terme «chaos» définit un état particulier d'un système dont le comportement ne se répète jamais, très sensible aux conditions initiales et imprédictible à long terme. Le chaos apparaît pour la première fois dans l'étude des systèmes dynamiques non linéaires en 1963. Dès lors, des chercheurs d'horizons divers ont alors commencé à s'intéresser à des problèmes non linéaires jusqu'alors restés sans solution parce qu'imprédictibles et regroupés sous la dénomination de chaos. Le chaos a ainsi trouvé de nombreuses applications dans les domaines tant physique que biologique, chimique ou économique, etc. . Toutefois, ce sont les circuits électriques et surtout électroniques qui vont jouer un rôle important dans la tentative de compréhension du phénomène chaotique et d'élaboration des propriétés du chaos. En effet, le chaos est intensément étudié dans une variété de circuits électroniques, utilisant des composants à fonctionnement non linéaire. L'oscillateur de l'un des plus célèbres chercheurs en théorie non linéaire, Léon Chua devient même un paradigme pour le chaos. Au début, les chercheurs et en particulier les ingénieurs, considèrent ce phénomène comme perturbateur et à l'origine des défaillances des systèmes qu'ils conçoivent. Ils s'intéressent donc d'abord à le contrôler afin de le modifier, voire le supprimer. Dans ce contexte, les premiers travaux fondamentaux ont été ceux de Hubler , Ott et al. . Une fois ces phénomènes mieux connus et mieux expliqués grâce aux ordinateurs, l'intérêt est par la suite porté sur la possibilité d'utiliser les signaux chaotiques dans les systèmes de communications sécurisées. Des études sont ainsi menées dans le but d'obtenir des générateurs de chaos générant des signaux de plus en plus complexes. Ces études sont menées dans le cadre de la théorie des systèmes dynamiques.

Les réseaux de neurones sont des cellules physiques distribuées parallèlement, capable d'acquérir, de mémoriser, et d'utiliser une connaissance expérimentale. Le principe des Réseaux de Neurones Artificiels (RNA) est né dans les années 40 à partir d'une analogie avec le système nerveux humain. Il s'agit de produire des systèmes artificiels capables de simuler certaines capacités des systèmes naturels : calcul, auto-reproduction, apprentissage, mémoire, comportement intelligent. Ce terme désigne aujourd'hui un grand nombre de modèles dont beaucoup n'ont plus grand chose à voir avec le fonctionnement des neurones biologiques, et doit donc être pris comme une métaphore. Ces différents modèles ont en commun l'utilisation de processeurs élémentaires, appelés neurones ou unités, capables de réaliser chacun un traitement très simple et d'échanger les informations entre eux. La plupart des RNA sont capables d'apprendre certaines règles basées sur des exemples, en ajustant le poids des connexions qui lient les neurones. En d'autres termes, les RNA apprennent sur des exemples et généralisent leur connaissance au-delà des exemples utilisés en apprentissage.

Systèmes dynamiques

On définit un système dynamique par un triplet (X, T, f) constitué de l'espace d'états X, du domaine temporel T, et d'une application de transition d'état f:XXT -X qui permet de définir à partir d'un vecteur de conditions initiales l'état du système à tout instant. Lorsque le champ de vecteur f dépend explicitement du temps, le système est dit non-autonome. Dans le cas contraire, on dit que le système est autonome. Les systèmes dynamiques peuvent être linéaires ou non linéaires.

Systèmes dynamiques non linéaires

Les systèmes dynamiques non linéaires, ou simplement linéaires par morceau, peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles lorsqu'ils sont mis sous certaines conditions. Ces comportements peuvent même sembler aléatoires bien que ces systèmes soient parfaitement déterministes. Cette imprédictibilité est appelée chaos. La théorie du chaos décrit qualitativement le comportement à long terme des systèmes dynamiques non linéaires. Dans la théorie des systèmes dynamiques non linéaires, on a deux classes de systèmes : les systèmes à temps continu et les systèmes à temps discret.

Systèmes dynamiques non linéaires à temps continu

Dans le cas où la composante "temps" est continu, le système dynamique est présenté par un système d'équations différentielles de la forme :

E I1 n et p E I1 p (2.1)

Systèmes dynamiques non linéaires à temps discret

Dans le cas où le temps est discret, le système dynamique est présenté par une application itérative.

E I1 n et p E I1 T , k = 1, 2, 3, ... (2.2)

Systèmes dynamiques chaotiques

Les systèmes dynamiques chaotiques sont les systèmes dynamiques satisfaisant aux conditions suivantes :

  • La non-linéarité : un système chaotique est un système dynamique non linéaire. Un système linéaire, ne peut pas être chaotique. Le déterminisme : un système chaotique a des règles fondamentales déterministes et non probabilistes.
  • L'évolution irrégulière du comportement d'un système chaotique est due aux non linéarités.
  • La sensibilité aux conditions initiales : de très petits changements sur l'état initial peuvent mener à des comportements radicalement différents dans son état final.
  • L'imprévisibilité : en raison de la sensibilité aux conditions initiales.
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